Perfecto, he podido sincronizar gitlab con la web.
Si me pasáis el usuario de gitlab.com que tengáis os meto en el grupo de anartist:
https://gitlab.com/anartist
Ahí está el proyecto de la web con el código.
Al cambiar lo que sea en la web, hay un botoncito pequeño en la esquina de arriba a la izquierda que dice “git”, eso es para ir subiendo los cambios al gitlab, y funciona igual viceversa.
Solo sincroniza las páginas, themes y plugins, las carpetas de “config” y “data” no las actualiza por contener información privada. Lo que sincroniza es lo único que necesitaríamos en caso de tener que reponer la web.